Selasa, 17 Januari 2012

seperti bintang yang kehilangan petang

tersenyu dan hanya bisa tersenyum menikmati indah masa-masa kita
meski hanya sementara tapi tersa sempurna
kebersamaan kita aadalah kebahagiaan kita yang terkenang sepanjang masa
pejalanan kita di kehidupan maupun di keseharian kita
adalah kisah canda tawa bahgia bersama
walupu kadang datang duka tapi kita sudah seakan keluaraga yang berangapan senag dan duka adalah kehidupan kita
kita adala keluarga ips 2 sejak kelas 2 pun kita sudah menjalin kebersamaan untuk memupuk rasa kekeluargaan demi kebahagiaan dan kebersamaan serta demi tercapainya kesenagan kita
kita adalah siswa yang berselimut putih abu-abu dengan semangat menggebu
menjalani penddikan di SMU demi terwujudnya impian baru
kini kita sudah menyatu dalam semangat baru tuk raih mimpi-mimpimu wahai kawanku.
kawan...............
kini kita sudah serasa keluarga kedua yang hadir dengan kebersamaan bersama-sama
canda...
tawa....
dan terkadang duka pun datang pada kita

Selasa, 22 November 2011

Selasa, 15 November 2011

permutasi

Permutasi

Dari Wikipedia bahasa Indonesia, ensiklopedia bebas

Permutasi adalah penyusunan kembali suatu kumpulan objek dalam urutan yang berbeda dari urutan yang semula. Sebagai contoh, kata-kata dalam kalimat sebelumnya dapat disusun kembali sebagai "adalah Permutasi suatu urutan yang berbeda urutan yang kumpulan semula objek penyusunan kembali dalam dari." Proses mengembalikan objek-objek tersebut pada urutan yang baku (sesuai ketentuan) disebut

Daftar isi

1 Pengertian

Pengertian

Jika terdapat suatu untai abjad abcd, maka untai itu dapat dituliskan kembali dengan urutan yang berbeda: acbd, dacb, dan seterusnya. Selengkapnya ada 24 cara menuliskan keempat huruf tersebut dalam urutan yang berbeda satu sama lain.

abcd  abdc  acbd  acdb  adbc  adcb
 bacd  badc  bcad  bcda  bdac  bdca
 cabd  cadb  cbad  cbda  cdab  cdba
 dabc  dacb  dbac  dbca  dcab  dcba

Setiap untai baru yang tertulis mengandung unsur-unsur yang sama dengan untai semula abcd, hanya saja ditulis dengan urutan yang berbeda. Maka setiap untai baru yang memiliki urutan berbeda dari untai semula ini disebut dengan permutasi dari abcd.

Menghitung Banyaknya Permutasi yang Mungkin

Untuk membuat permutasi dari abcd, dapat diandaikan bahwa terdapat empat kartu bertuliskan masing-masing huruf, yang hendak kita susun kembali. Juga terdapat 4 kotak kosong yang hendak kita isi dengan masing-masing kartu:

Kartu            Kotak kosong
 -----------      ---------------
 a  b  c  d       [ ] [ ] [ ] [ ]

Maka kita dapat mengisi setiap kotak dengan kartu. Tentunya setiap kartu yang telah dipakai tidak dapat dipakai di dua tempat sekaligus. Prosesnya digambarkan sebagai berikut:

Di kotak pertama, kita memiliki 4 pilihan kartu untuk dimasukkan.

Kartu            Kotak
 -----------      ---------------
 a  b  c  d       [ ] [ ] [ ] [ ]
                   ^ 4 pilihan: a, b, c, d

Sekarang, kondisi kartunya tinggal 3, maka kita tinggal memiliki 3 pilihan kartu untuk dimasukkan di kotak kedua.

Kartu            Kotak
 -----------      ---------------
 a  *  c  d       [b] [ ] [ ] [ ]
                       ^ 3 pilihan: a, c, d

Karena dua kartu telah dipakai, maka untuk kotak ketiga, kita tinggal memiliki dua pilihan.

Kartu            Kotak
 -----------      ---------------
 a  *  c  *       [b] [d] [ ] [ ]
                           ^ 2 pilihan: a, c

Kotak terakhir, kita hanya memiliki sebuah pilihan.

Kartu            Kotak
 -----------      ---------------
 a  *  *  *       [b] [d] [c] [ ]
                               ^ 1 pilihan: a

Kondisi terakhir semua kotak sudah terisi.

Kartu            Kotak
 -----------      ---------------
 *  *  *  *       [b] [d] [c] [a]

Di setiap langkah, kita memiliki sejumlah pilihan yang semakin berkurang. Maka banyaknya semua kemungkinan permutasi adalah 4×3×2×1 = 24 buah. Jika banyaknya kartu 5, dengan cara yang sama dapat diperoleh ada 5×4×3×2×1 = 120 kemungkinan. Maka jika digeneralisasikan, banyaknya permutasi dari n unsur adalah sebanyak

n!

Setiap permutasi dapat kita kaitkan dengan barisan bilangan yang disebut sebagai barisan bilangan inversi. Setiap unsur dalam permutasi dikaitkan dengan sebuah bilangan yang menunjukkan banyaknya unsur setelah unsur tersebut, yang posisinya salah. Sebagai contoh, salah satu permutasi dari untai abcdefg adalah dacfgeb. Maka untuk setiap unsur dacfgeb dapat dibuat bilangan inversinya:

Posisi	Unsur	Bilangan
0	d	3	Ada 3 huruf setelah posisi 0, yang seharusnya berada sebelum d, yaitu a, b, dan c.
1	a	0	Tidak ada huruf setelah posisi 1, yang seharusnya berada sebelum a.
2	c	1	Ada 1 huruf setelah posisi 2, yang seharusnya berada sebelum c, yaitu b.
3	f	2	Ada 2 huruf setelah posisi 3, yang seharusnya berada sebelum f, yaitu e, dan b.
4	g	2	Ada 2 huruf setelah posisi 4, yang seharusnya berada sebelum g, yaitu e, dan b.
5	e	1	Ada 1 huruf setelah posisi 5, yang seharusnya berada sebelum g, yaitu b.
6	b	0	Tidak ada huruf setelah b.

Maka barisan bilangan inversi dari dacfgeb adalah 3, 0, 1, 2, 2, 1, 0.

Faktoradik

Barisan bilangan inversi dapat dimengerti sebagai sebuah sistem bilangan, yang setiap digitnya memiliki sifat:

$a_i \in N$

dan

$0 \leq a_i \leq i$

Sistem bilangan ini disebut sebagai faktoradik. Masing-masing faktoradik dapat diubah maupun dibentuk dari bilangan desimal. Ini berguna untuk dapat menghasilkan permutasi ke-k dari sebuah untai.

Membangkitkan Permutasi

Permasalahan umum yang terdapat seputar membangkitkan permutasi adalah:
Diberikan sebuah untai S, tentukan:

Semua permutasi dari S
Semua permutasi n-elemen dari S
Permutasi berikutnya setelah S
Permutasi ke-k dari s sesuai urutan leksikografik (atau aturan lainnya)

Jenis-jenis Permutasi Lainnya

Permutasi-k dari n benda

Terkadang kita hanya ingin menyusun ulang sejumlah elemen saja, tidak semuanya. Permutasi ini disebut permutasi-k dari n benda. Pada contoh untai abcd, maka permutasi-2 dari abcd (yang semuanya ada 4 unsur) adalah sebanyak 12:

ab  ac  ad
 ba  bc  bd
 ca  cb  cd
 da  db  dc

Sedangkan permutasi-3 dari untai yang sama adalah sebanyak 24:

abc  abd  acb  acd  adb  adc
 bac  bca  bad  bda  bcd  bdc
 cab  cba  cad  cda  cbd  cdb
 dab  dba  dac  dca  dbc  dcb

Banyaknya kemungkinan permutasi seperti ini adalah

$P^n_k = \frac{n!}{(n-k)!}$

]permutasi dengan elemen yang identik

Terkadang tidak semua unsur dalam permutasi dapat dibedakan. Unsur-unsur ini adalah unsur-unsur yang identik atau sama secara kualitas. Suatu untai aabc terdiri dari 4 macam unsur, yaitu a, b, dan c tetapi unsur a muncul sebanyak dua kali. Kedua a tersebut identik. Permutasi dari aabc adalah berjumlah 12:

aabc  aacb  abac  abca
 acab  acba  baac  baca
 bcaa  caab  caba  cbaa

Ini bisa dimengerti sebagai permutasi biasa dengan kedua unsur a dibedakan, yaitu a₀ dan a₁:

a₀a₁bc  a₁a₀bc  =  aabc
   a₀a₁cb  a₁a₀cb  =  aacb
   a₀ba₁c  a₁ba₀c  =  abac
   a₀bca₁  a₁bca₀  =  abca
   a₀ca₁b  a₁ca₀b  =  acab
   a₀cba₁  a₁cba₀  =  acba
   ba₀a₁c  ba₁a₀c  =  baac
   ba₀ca₁  ba₁ca₀  =  baca
   bca₀a₁  bca₁a₀  =  bcaa
   ca₀a₁b  ca₁a₀b  =  caab
   ca₀ba₁  ca₁ba₀  =  caba
   cba₀a₁  cba₁a₀  =  cbaa

Total permutasi dari untai aabc adalah sebanyak 4! = 24. Tetapi total permutasi ini juga mencakup posisi a₀ dan a₁ yang bertukar-tukar, yang jumlahnya adalah 2! (karena a terdiri dari 2 unsur: a₀ dan a₁). Dengan demikian jika dianggap a₀ = a₁ maka banyak permutasinya menjadi 4! dibagi dengan 2!. Cara menghitung ini dapat digeneralisasikan:
Untuk untai S sepanjang n yang mengandung satu macam unsur identik sebanyak k:

$\frac{n!}{k!}$

Lebih umum lagi, jika panjang untai adalah n, mengandung m macam unsur yang masing-masing adalah sebanyak k₁, k₂, ..., k_m, maka:

$\frac{n!}{k_1! k_2! ... k_m!}$

atau

$\frac{n!}{\prod_{i=1}^m{k_i!}}$

Sebagai contoh, untai aaaaabbcccdddddd terdiri dari 5 a, 2 b, 3 c, dan 6 d, maka banyaknya permutasi yang dapat dibentuk:

$\frac{16!}{5! 2! 3! 6!} = 20180160$

Dalam permutasi biasa, misalnya abcd, setiap unsur hanya muncul satu kali, sehingga

$\frac{4!}{1! 1! 1! 1!} = 4!$

Unsur yang identik tersebut tidak perlu benar-benar identik, tetapi bisa merupakan unsur yang berbeda, tetapi ada kualitas tertentu yang kita anggap sama dari kedua unsur tersebut. Sebagai contoh, huruf A dan huruf a bisa dianggap identik untuk keperluan tertentu.

Permutasi siklis

Permutasi siklis menganggap elemen disusun secara melingkar.

Pada susunan di atas, kita dapat membaca untai tersebut sebagai salah satu dari untai-untai berikut:

abcdefgh
 bcdefgha
 cdefghab
 defghabc
 efghabcd
 fghabcde
 ghabcdef
 habcdefg

Cara membaca untai abcdefgh dalam susunan melingkar tersebut bermacam-macam, maka setiap macam cara kita anggap identik satu sama lain. Permutasi siklis dapat dihitung dengan menganggap bahwa satu elemen harus ditulis sebagai awal untai.

a bcdefgh
   --------
   ^ bagian yang dipermutasikan

Dengan menganggap panjang untai (atau banyaknya elemen) adalah n, dan karena elemen awal tidak boleh diubah-ubah posisinya, maka banyaknya elemen yang dapat berubah-ubah posisinya adalah n-1. Dengan demikian kita cukup mempermutasikan elemen yang dapat berubah-ubah posisi saja, yaitu sebanyak

(n - 1)!

logaritma

Logaritma

Dari Wikipedia bahasa Indonesia, ensiklopedia bebas

Grafik logaritma terhadap basis yang berbeda. merah adalah terhadap basis e, hijau adalah terhadap basis 10, dan ungu adalah terhadap basis 1.7. Perhatikan bahwa grafik logaritma terhadap basis yang berbeda selalu melewati titik (1,0)

Logaritma adalah operasi matematika yang merupakan kebalikan dari eksponen atau pemangkatan.
Rumus dasar logaritma:
b^c= a ditulis sebagai ^blog a = c (b disebut basis)
Beberapa orang menuliskan ^blog a = c sebagai log_ba = c.

Daftar isi

[sembunyikan]

Basis

Basis yang sering dipakai atau paling banyak dipakai adalah basis 10, e≈ 2.71828... dan 2.

Notasi

Di Indonesia, kebanyakan buku pelajaran Matematika menggunakan notasi ^blog a daripada log_ba. Buku-buku Matematika berbahasa Inggris menggunakan notasi log_ba
Beberapa orang menulis ln a sebagai ganti ^elog a, log a sebagai ganti ¹⁰log a dan ld a sebagai ganti ²log a.
Pada kebanyakan kalkulator, LOG menunjuk kepada logaritma berbasis 10 dan LN menunjuk kepada logaritma berbasis e.
Pada beberapa bahasa pemrograman komputer seperti C,C++,Java dan BASIC, LOG menunjuk kepada logaritma berbasis e.
Terkadang Log x (huruf besar L) menunjuk kepada ¹⁰log x dan log x (huruf kecil L) menunjuk kepada ^elog x.

Mencari nilai logaritma

Cara untuk mencari nilai logaritma antara lain dengan menggunakan:

Tabel
Kalkulator (yang sudah dilengkapi fitur log)

Rumus

**Logaritma**
a^c = b → ª log b = c

a = basis
b = bilangan yang dilogaritma
c = hasil logaritma
Sifat-sifat Logaritma
ª log a = 1
ª log 1 = 0
ª log aⁿ = n
ª log bⁿ = n • ª log b
ª log b • c = ª log b + ª log c
ª log ^b/c = ª log b – ª log c
ªˆⁿ log b ^m = ^m/n • ª log b
ª log b = 1 ÷ ^b log a
ª log b • ^b log c • ^c log d = ª log d
ª log b = ^c log b ÷ ^c log a

Kegunaan logaritma

Logaritma sering digunakan untuk memecahkan persamaan yang pangkatnya tidak diketahui. Turunannya mudah dicari dan karena itu logaritma sering digunakan sebagai solusi dari integral. Dalam persamaan bⁿ = x, b dapat dicari dengan pengakaran, n dengan logaritma, dan x dengan fungsi eksponensial.

] Sains dan teknik

Dalam sains, terdapat banyak besaran yang umumnya diekspresikan dengan logaritma. Sebabnya, dan contoh-contoh yang lebih lengkap, dapat dilihat di skala logaritmik.

Negatif dari logaritma berbasis 10 digunakan dalam kimia untuk mengekspresikan konsentrasi ion hidronium (pH). Contohnya, konsentrasi ion hidronium pada air adalah 10⁻⁷ pada suhu 25 °C, sehingga pH-nya 7.

Satuan bel (dengan simbol B) adalah satuan pengukur perbandingan (rasio), seperti perbandingan nilai daya dan tegangan. Kebanyakan digunakan dalam bidang telekomunikasi, elektronik, dan akustik. Salah satu sebab digunakannya logaritma adalah karena telinga manusia mempersepsikan suara yang terdengar secara logaritmik. Satuan Bel dinamakan untuk mengenang jasa Alexander Graham Bell, seorang penemu di bidang telekomunikasi. Satuan desibel (dB), yang sama dengan 0.1 bel, lebih sering digunakan.

Skala Richter mengukur intensitas gempa bumi dengan menggunakan skala logaritma berbasis 10.

Dalam astronomi, magnitudo yang mengukur terangnya bintang menggunakan skala logaritmik, karena mata manusia mempersepsikan terang secara logaritmik.

Penghitungan yang lebih mudah

Logaritma memindahkan fokus penghitungan dari bilangan normal ke pangkat-pangkat (eksponen). Bila basis logaritmanya sama, maka beberapa jenis penghitungan menjadi lebih mudah menggunakan logaritma::

Penghitungan dengan angka	Penghitungan dengan eksponen	Identitas Logaritma
$\!\, a b$	$\!\, A + B$	$\!\, \log(a b) = \log(a) + \log(b)$
$\!\frac{a}{b}$	$\!\, A - B$	$\!\, \log(\frac{a}{b}) = \log(a) - \log(b)$
$\!\, a ^ b$	$\!\, A b$	$\!\, \log(a ^ b) = b \log(a)$
$\!\, \sqrt[b]{a}$	$\!\, \frac{A}{b}$	$\!\, \log(\sqrt[b]{a}) = \frac{\log(a)}{b}$

Sifat-sifat diatas membuat penghitungan dengan eksponen menjadi lebih mudah, dan penggunaan logaritma sangat penting, terutama sebelum tersedianya kalkulator sebagai hasil perkembangan teknologi modern.
Untuk mengkali dua angka, yang diperlukan adalah melihat logaritma masing-masing angka dalam tabel, menjumlahkannya, dan melihat antilog jumlah tersebut dalam tabel. Untuk mengitung pangkat atau akar dari sebuah bilangan, logaritma bilangan tersebut dapat dilihat di tabel, lalu hanya mengkali atau membagi dengan radix pangkat atau akar tersebut.

Kalkulus

Turunan fungsi logaritma adalah

$\frac{d}{dx} \log_b(x) = \frac{1}{x \ln(b)} = \frac{\log_b(e)}{x}$

dimana ln adalah logaritma natural, yaitu logaritma yang berbasis e. Jika b = e, maka rumus diatas dapat disederhanakan menjadi

$\frac{d}{dx} \ln(x) = \frac{1}{x}.$

Integral fungsi logaritma adalah

$\int \log_b(x) \,dx = x \log_b(x) - \frac{x}{\ln(b)} + C = x \log_b \left(\frac{x}{e}\right) + C$

Integral logaritma berbasis e adalah

$\int \ln(x) \, dx= x \ln(x) - x + C\,$

Sebagai contoh carilah turunan

log(x)

Penghitungan nilai logaritma

Nilai logaritma dengan basis b dapat dihitung dengan rumus dibawah ini.

$\log_b(x) = \frac{\log_e(x)}{\log_e(b)} \qquad \mbox{ or } \qquad \log_b(x) = \frac{\log_2(x)}{\log_2(b)}$

Sedangkan untuk logaritma berbasis e dan berbasis 2, terdapat prosedur-prosedur yang umum, yang hanya menggunakan penjumlahan, pengurangan, pengkalian, dan pembagian.

Selasa, 01 November 2011

Persamaan Linear Dua Variabel

Persamaan Linear Dua Variabel

Persamaan linear dua variabel adalah persamaan garis lurus yang mempunyai 2 variabel atau peubah.

Contoh:

3x=5y+21→ persamaan dengan dua variabel x dan y.

5a+4b+28→ persamaan dengan dua variabel α dan β.
Penyelesaian PLDV
Eliminasi
Eliminasi adalah menghilangkan salah satu variabel.
Contoh:
Carilah nilai Δ dan t dari persamaan berikut dengan cara eliminasi.
$\!4\delta+\!3t=\!34$
$\!5\delta+\!t=\!41$

Untuk mengeliminasi variabel Δ, maka persamaan nomor 1 dikalikan dengan 1 dan persamaan nomor 2 dikalikan dengan 3. Kedua persamaan dikurangkan agar variabel t hilang.

4Δ + 3t = 34  | X1  →  4Δ + 3t  = 34
5Δ + t  = 37  | X3  → 15Δ + 3t = 111
                       ______________ -
                      -11Δ      = -77
                         Δ      = 7

Setelah kita mendapatkan nilai Δ yaitu 7, kita akan mencari nilai t.
Untuk mencari nilai t, persamaan nomor 1 dikalikan dengan 5 dan persamaan nomor 2 dikalikan dengan 4. Kedua persamaan dikurangi agar variabel Δ hilang.

4Δ + 3t = 34  | X5  →  20Δ + 15t  = 170
5Δ + t  = 37  | X4  → 20Δ +  4t  = 148
                       ______________ -
                             11t  = 22
                         t        = 2

Jadi Δ = 7 dan t = 2.

Selasa, 17 Januari 2012

seperti bintang yang kehilangan petang

Selasa, 22 November 2011

Selasa, 15 November 2011

permutasi

Permutasi

Daftar isi

1 Pengertian

Pengertian

Menghitung Banyaknya Permutasi yang Mungkin

Faktoradik

Membangkitkan Permutasi

Jenis-jenis Permutasi Lainnya

Permutasi-k dari n benda

]permutasi dengan elemen yang identik

Permutasi siklis

logaritma

Logaritma

Daftar isi

Basis

Notasi

Mencari nilai logaritma

Rumus

Kegunaan logaritma

] Sains dan teknik

Penghitungan yang lebih mudah

Kalkulus

Penghitungan nilai logaritma

Selasa, 01 November 2011

Persamaan Linear Dua Variabel

Penyelesaian PLDV

Eliminasi